高数挂科补救计划-初中基础反向学习高数题-商的求导法则
高数挂科补救计划-初中基础反向学习高数题-商的求导法则
Xiaozhi_z一晃眼就26年了，离考试周还有三周不到的时间(我要快一点速通一下了 （希望不挂科
求导 $$y = \arctan\ \frac{1+x}{1-x}$$
回顾上一题的解题思路
对于$y = arcsin(sin x)$
先回顾所有用到的公式
- 反三角函数求导公式（核心）
$$ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad |x| < 1 $$ - 三角函数求导公式
$$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $$ - 链式法则
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ - 三角恒等式
$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ - 绝对值处理规则
$$\sqrt{a^2} = |a|$$
带入公式解题
步骤1：识别函数结构
函数：y = arcsin(sin x)
结构：反三角函数 arcsin 套在三角函数 sin x 外面 → 复合函数
步骤2：设中间变量
设 u = sin x，则：
- 外层：y = arcsin u
- 内层：u = sin x
步骤3：应用链式法则
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\arcsin u) \cdot \frac{du}{dx} $$
步骤4：代入公式计算
(1) 外层导数（反三角公式）：
$$ \frac{d}{du} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} $$
(2) 内层导数（三角公式）：
$$ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $$
(3) 相乘得：
$$ y’ = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \cos x $$
步骤5：代回 u = sin x
$$ y’ = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} \cdot \cos x $$
步骤6：使用三角恒等式化简
$$ y’ = \frac{1}{\sqrt{\cos^2 x}} \cdot \cos x $$
步骤7：处理平方根
$$ \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| $$
所以：
$$ y’ = \frac{\cos x}{|\cos x|} $$
步骤8：分析符号（分段讨论）
$$\frac{\cos x}{|\cos x|} = 1, \quad \text{当 } \cos x > 0$$
$$\frac{\cos x}{|\cos x|} = -1, \quad \text{当 } \cos x < 0$$
$$\frac{\cos x}{|\cos x|} \text{ 未定义}, \quad \text{当 } \cos x = 0$$
步骤9：确定具体区间
(1) cos x > 0：
$$ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right),\quad k \in \mathbb{Z} $$
(2) cos x < 0：
$$ x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right),\quad k \in \mathbb{Z} $$
(3) cos x = 0：
$$ x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} $$
回到这道题
求导 $$y = \arctan\ \frac{1+x}{1-x}$$
很明显的能看出来和上道题基本一致，可是内层函数不是简单的用求导公式就能解决的，因为是除法所以要用到商的求导法则，先学习一下这个东西
商的求导法则
商的求导法则用于求两个函数相除的导数。
公式如下：
为了快速做题今天先不推导了 先交上期末作业再说 之后学习推导
$$ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} $$
简单来说就是 分子导数乘分母，减去分子乘分母导数，整体除以分母平方
举个简单例子：
求 $h(x) = \frac{x}{x+1}$ 的导数
设 $f(x) = x$，$g(x) = x+1$
- $f’(x) = 1$
- $g’(x) = 1$
代入公式：
$$ h’(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} $$
本题需要用到的所有公式
反正切函数求导公式
$$ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} $$
链式法则
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$
商的求导法则（新学的）
$$ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} $$
解题步骤
步骤1：识别函数结构
函数：$y = \arctan!\left( \frac{1+x}{1-x} \right)$
结构：反三角函数 $\arctan$ 套在分式函数 $\frac{1+x}{1-x}$ 外面 → 复合函数
步骤2：设中间变量
设 $u = \frac{1+x}{1-x}$，则：
- 外层：$y = \arctan u$
- 内层：$u = \frac{1+x}{1-x}$
步骤3：应用链式法则
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(\arctan u) \cdot \frac{du}{dx} $$
步骤4：计算外层导数
$$ \frac{d}{du} \arctan u = \frac{1}{1+u^2} $$
步骤5：计算内层导数（使用商的求导法则）
这里 $u = \frac{1+x}{1-x}$，可以看成：
- 分子：$f(x) = 1+x$，$f’(x) = 1$
- 分母：$g(x) = 1-x$，$g’(x) = -1$
代入商的求导公式：
$$ \frac{du}{dx} = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2} $$
$$ = \frac{1 \cdot (1-x) - (1+x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} $$
$$ = \frac{(1-x) + (1+x)}{(1-x)^2} $$
$$ = \frac{2}{(1-x)^2} $$
步骤6：相乘得到导数
$$ y’ = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} $$
$$ = \frac{2}{(1-x)^2 (1+u^2)} $$
步骤7：代回 $u = \frac{1+x}{1-x}$ 并化简
$$ y’ = \frac{2}{(1-x)^2 \left[1 + \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^2 \right]} $$
化简括号内的部分：
$$ 1 + \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^2 = 1 + \frac{(1+x)^2}{(1-x)^2} $$
$$ = \frac{(1-x)^2 + (1+x)^2}{(1-x)^2} $$
$$ = \frac{(1 - 2x + x^2) + (1 + 2x + x^2)}{(1-x)^2} $$
$$ = \frac{2 + 2x^2}{(1-x)^2} $$
$$ = \frac{2(1+x^2)}{(1-x)^2} $$
代入 $y’$：
$$ y’ = \frac{2}{(1-x)^2} \cdot \frac{1}{\frac{2(1+x^2)}{(1-x)^2}} $$
$$ = \frac{2}{(1-x)^2} \cdot \frac{(1-x)^2}{2(1+x^2)} $$
$$ = \frac{1}{1+x^2} $$
步骤8：检查定义域
- 原函数：分母 $1-x \neq 0$，所以 $x \neq 1$
- 导数：$\frac{1}{1+x^2}$ 对任意实数 $x$ 都有定义
- 但 $x = 1$ 时原函数无定义，所以最终定义域：$x \neq 1$
步骤9：最终答案
$$ \boxed{y’ = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \neq 1} $$
